Pengertian dan Istilah-istilah dalam Himpunan

TI_POLITALA_MATDIS_1A

Nama : Nordian

Kelas  : 1A

Prodi  : Tekinik Informatika

- HIMPUNAN

Dalam matematika, himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas) segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
 .) Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari defi nisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.
Contoh himpunan:
• Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning, dan hijau.
• Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya adalah 2, 3, 5, dan 7.
Contoh bukan himpunan:
• Kumpulan baju-baju bagus.
• Kumpulan makanan enak.
2..)Jenis-Jenis Himpunan

1. Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B
A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B
B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A
Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

2. Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong adalah tunggal
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.
Sebab : { 0 } ≠ { }
Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3. Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.

4. Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :
A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

5. Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.
Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.
Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

6. Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi A^C . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi A^C = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :
A^C = {x│x Є U, x Є A}

7. Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4
Maka n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

1. Cara Penulisan Himpunan

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1. Dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.

Contoh:     A = {a, i, u, e, o}
B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2. menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.

Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5
A = bilangan asli kurang dari 5

3. Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.

Contoh Soal :
Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :
A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Penyelesaian :
A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Dengan menulis tiap-tiap anggotanya A = {2, 3, 4, 5}
Dengan menulis sifat-sifatnya A = {x | 1 < x <  Asli}Î6, x

4. Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn)

Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.

1. Operasi Pada Himpunan
2. Gabungan

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.  Dinotasikan A  B Notasi : A   B = {x | x Є A atau  x Є B}

2. Irisan

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.
Notasi : A   B = {x | x Є  A dan x Є B}

3. Komplemen

Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A. Dinotasikan A^c
Notasi : A^c = {x | x Є S dan  x Є A} atau

4. Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A. Dinotasikan A-B
Notasi : A – B = {x | x Є A dan  x Є B}

5. Hasil Kali Kartesius ( cartesion Product )

Hasil kali kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B
Secara matematis dituliskan : A x B = {(a,b)| a Є A dan b Є B}

1. Hukum Aljabar Himpunan

Hukum-hukum pada himpunan dinamakan Hukum –hukum aljabar himpunan. cukup banyak  hukum yang terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya dijabarkan  11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil seperti a (b+c) = ab + ac  , yaitu hukum distributif.

1.   Hukum identitas: A = A A U = A	2.   Hukum null/dominasi: A = A U = U
3.   Hukum komplemen: A  = U A  =	4.   Hukum idempoten: A A = A A A = A
5.   Hukum involusi: = A	6.   Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A
7.   Hukum komutatif: A B = B A A B = B A	8.   Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C
9.   Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)	10. Hukum De Morgan: = =
11.  Hukum 0/1 = U = Æ

Terlihat bahwa hukum- hukum yang berlaku pada himpunan merupakan analogi hukum –hukum logika , dengan operator  menggantikan L (dan) , sedangkan operator    menggantikan V ( atau ).

1. Prinsip inklusi dan eksklusi

Beberapa banyak anggota di dalam gabungan dua himpunan A dan B. penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B. himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah |A  | . setiap unsure yang sama itu telah dihitung dua kali , sekali pada |A| dan sekali pada |B|, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen di dalam |A  | .  karena itu , jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi jumlah elemen di dalam irisannya, atau  |A| + B | -|A  |
Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi –eksklusi . sejumlah lemma dan teorema yang berkaitan dengan prinsip ini dituliskan sebagai berikut:

2. a)Lemma 2.1. misalkan A dan B adalah himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint) , maka |A| + B |
3. b)Teorema 2.3 misalkan A dan B adalah himpunan berhingga maka  berhingga dan|A| + B | -|A  |
4. c)Dengan cara yang sama , kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup |A| + B | -2 |A  |.

Contoh :
Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5
Penyelelsaian :
Misalkan : A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5
A  himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 yaitu 15 ).
Ø  Yang ditanyakan adalah
Terlebih dahulu kita harus menghitung
|A| = [100/3] = 33           | B | = [100/5]= 20         |A  | = [100/15] = 6
Untuk mendapatkan |A| + B | – |A  | = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5 .
Prinsip inklusi- eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan. untuk tiga buah himpunan A, B, dan C berlaku teorema berikut:
Teorema 2.4 Misalkan A , B , dan C adalah himpunan yang berhingga maka berhingga dan
Sedangkan untuk  empat buah himpunan maka
|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D|  – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |A ∩ D| – |B ∩C| – |B ∩ D| – |C ∩ D|  + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C∩ D |– |A ∩ B ∩ C ∩ D| 
Contoh :
Sebanyak 1232 orang mahasiswa mengambil kuliah bahasa inggris , 879 orang mengambil kuliah bahasa perancis , dan 114 mengambil kuliah bahasa jerman. Sebanyak 103 orang mengambil kuliah bahasa inggris dan perancis, 23 orang mengambil kuliah bahasa inggris dan jerman , dan 14 orang mengambil kuliah bahasa perancis dan bahasa jerman. Jika 2092 orang mengambil paling sedikit satu buah kuliah bahsa inggris, bahasa jerman ., dan perancis, berapa banyak mahasiswa yang mengambil kuliah ketiga buah bahasa tersebut?
Penyelesaian :
Misalkan :
I = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa inggris.
P =himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa perancis.
J  = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa jerman.
Maka ,
|I | = 1232   |P | = 879   |J| = 114    | I P |  = 103
| I J |  = 23   | P J |  = 14  dan  |I ∪ P ∪  J| = 2092
Penyulihan nilai- nilai diatas pada persamaan
|I ∪ P ∪  J| = |I | +  |P | + |J| –  | I P |  – | I J | – | P J |  +  |I P   J|
2092      = 1232 + 879 + 114 – 103 – 23 -14 + |I P   J|
Sehingga |I P   J| = 7
Jadi ada  7 orang mahasiswa yang mengambil ketiga buah kuliah bahasa inggris , perancis dan jerman

2. Pembuktian Proporsi Himpunan

Proposisi himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat berupa kesamaan (set identity), misalnya A (B C) = (A B) (A C)  adalah kesamaan himpunan atau dapat berupa implikasi seperti “ jika A B =  dan   (B C), maka selalu berlaku bahwa A Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan. Untuk suatu proposisi himpunan . untuk suatu proposisi himpunan kita dapat membuktikannya dengan beberapa metode yang menghasilkan kesimpulan yang sama. Di bawah ini dikemukakan beberapa metode pembuktian proposisi perihal himpunan.

1. Dengan diagram venn

Buatlah diagram venn untuk bagian ruas kiri kesamaan dan diagram venn untuk ruas kanan kesamaan. Jika diagram venn keduanya sama beraarti kesamaan tersebut benar. Kelebihan metode ini yaitu pembuktian dapat dilakukan dengan cepat sedangkan kekurangannya hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini lebih mengilustrasikan dibandingkan membuktikan fakta. Dan banyak matematikawan tidak menganggap sebagai pembuktian valid untuk pembuktian secara formal. Oleh karena itu pembuktian dengan diagram venn kurang dapat diterima.

1. Pembuktian dengan tabel keanggotaan

Kesamaan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan. Kita menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen adalah anggota himpunan , dan 0 untuk menyatakan bukan himpunan. (nilai ini dapat dianalogikan dengan true dan false).
Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C) tabel keanggotaan untuk kesamaan tersebut adalah seperti dibawah ini. Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama maka kesamaan tersebut benar.

A	B	C	BC	A (BC)	AB	AC	(AB) (AC)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

1. Pembuktian dengan aljabar himpunan

Aljabar himpunan mengacu pada hukum- hukum aljabar himpunan, termasuk di dalamnya teorema-teorema ( yang ada buktinya ), definisi suatu operasi himpunan dan penerapan prinsip dualitas.
Contoh :
Misalkan A dan B himpunan . buktikan bahwa A  (B – A) = A Penyelesaian :
A  (B – A) = A  (B  A^c)                 definisi operasi selisih
= (A B)  (A  A^c)           hukum distributif
= (A B)                      hukum komplemen
= A B                         hukum identitas

1. Pembuktian dengan menggunakan definisi

Metode ini digunakan untuk membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan , tetapi proposisi yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( ).
Langkah-langkah untuk membuktikan bahwa X   Y  adalah sebagai berikut:

• Ambil sembarang x  X
• Dengan langkah-langkah yang benar tunjukkan bahwa x  Y

Oleh karena itu x diambil sembarang dalam X , maka berarti bahwa setiap anggota X merupakan anggota Y atau  X   Y.  Pembuktian yang melibatkan kesamaan himpunan (X = Y) haruslah melalui  2 arah sesuai dengan definisinya , yaitu X   Y   dan Y   X.

1. Pembuktian dengan menggunakan sifat keanggotaan.

Contoh :
Bagaimana membuktikan A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)?
x ∈A ∪ (B ∩ C)
⇔x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)
⇔x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
⇔(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)
(hukum distributif untuk logika matematika)
⇔x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C)
⇔x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

1. Argument dan diagram venn

Banyak statemen verbal dapat dialihkan menjadi statemen himpunan. Statemen ini dapat digambarkan dengan diagram Venn. Oleh karena itu, diagram Venn acap kali digunakan untuk menganalisa validitasnya suatu argumen.
Contoh :
Pandang asumsi SI, S2, S3 berikut :
S1  : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya
S2  : Setiap raja merupakan orang kaya
S3  : Tidak ada orang kaya yang juga tenteram hidupnya
Kita hendak menggambarkan asumsi di atas dalam diagram Venn.
Himpunan guru termuat dalam himpunan orang yang tentram hidupnya (asumsi SI). Himpunan orang tenteram hidupnya akan saling lepas dengan himpunan orang kaya (asumsi S3). Himpunan raja termuat seluruhnya di dalam himpunan orang kaya (asumsi S2).

1. Manfaat Mempelajari Hmpunan dalam Kehidupan Sehai Hari

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.
5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.
6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

1. Contoh Penerapan Soal Himpunan Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Berikut ini merupakan beberapa contoh kasus teori himpuanan dalam kehiupan sehari-hari.
Soal:

1. Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 24 orang gemar musik 30 orang gemar olah raga dan 16 orang gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang gemar musik saja dan yang gemar olahraga saja?
2. Dari survey 100 orang warga terdapat 60 orang gemar membaca 50 orang gemar menulis, 45 orang gemar melukis, 40 orang gemar melukis dan menulis, 35 orang gemar membaca dan melukis, 30 orang gemar ketiganya. Tentukan :
3. a)  Orang yang gemar melukis dan menulis saja
4. b)  Orang yang gemar membaca dan melukis saja
5. c)  Orang yang gemar membaca saja
6. d)  Orang yang gemar menulis saja
7. e)  Orang yang gemar melukis saja
8. f)   Orang yang tidak suka ketiganya

Penyelesaian:

1. Perhatikan dalam soal tersebut terdapat dua himpunan siswa  yaitu siswa yang gemar musik dan siswa yang gemar olahraga. Siswa yang gemar keduanya sebanyak 16 orang. Dalam konsep himpunan, anggota yang gemar keduanya merupan anggota irisansehingga dapat dicari siswa yang gemar musik saja dan siswa yang gemar olahraga saja.

Karena irisan siswa yang gemar keduanya sebanyak  16 orang sehingga siswa yang hanya gemar Musik dan olah raga saja yaitu :
Musik = 24 – 16 = 8
Olahraga = 30 – 16 = 14
Dengan demikian  himpunan semestanya :
S = 8 + 14 +16 = 40 siswa.

2. Dari soal nomor 2, terdapat tiga himpunan yang berbeda yaitu yang gemar membaca, menulis dan melukis. Untuk menyelesaikan soal tersebut, terlebih dahulu kita  cari irisan ketiganya. Sehingga dapat disimpulkan :

Misal : B = Membaca, N = Menulis, L = Melukis

1. a)Orang yang gemar melukis dan menulis saja: 40 – 30 = 10 orang
2. b)Orang yang gemar membaca dan menulis saja: 35 – 30 = 5 orang
3. c)Orang gemar membaca saja: 60 – 30 – 5 = 25 orang
4. d)Orang yang gemar menulis saja: 50 – 30 – 10 = 10 orang
5. e)Orang yang gemar melukis saja: 45 – 45 = 0, maka orang yang gemar melukis saja merupakan himpunan kosong
6. f)Orang yang tidak suka ketiganya: 100 – 25 – 30 – 5 – 10 – 10 = 20 oranng

3..(DAN JUGA BERIKUT ADA OPERASI-OPERASI HIMPUNAN

Mengenal Operasi Himpunan

Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan, komplemen, selisih dan beda setangkup.

IRISAN (INTERSECTION)

Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

irisan (intersection)

Contoh irisan :

• Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3}
• Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas), maka A ∩ B = ∅.

Hal ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B.

GABUNGAN (UNION)

Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Union

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
Contoh union :

• Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}
• A ∪ ∅ = A

KOMPLEMEN (COMPLEMENT)

Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh :

Ā = { x | x ∈ U dan x ∉ A } Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Komplemen

Contoh komplemen :

• Misalkan U = { 1, 2, 3, …, 9 },
• jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 5, 6, 8}
• jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

Contoh komplemen :

A = himpunan mahasiswa STT Telkom

B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama

C = himpunan mahasiswa angkatan 2004

D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit

E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus

a. Pernyataan

“Semua mahasiswa STT Telkom angkatan 2004 yang membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :

(A ∩ C) ∩ E

b. Pernyataan

“Semua mahasiswa STT Telkom yang tinggal di asrama dan tidak mengambil matematika diskrit” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :

A ∩ B ∩ D

c. Pernyataan

“semua mahasiswa angkatan 2004 yang tidak tinggal di asrama atau tidak membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :

C ∩ (B ∪ E)

SELISIH (DIFFERENCE)

Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B

Selisih

Contoh selisih :

Jika A = { 1, 2, 3, …, 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B – A = ∅

BEDA SETANGKUP (SYMMETRIC DIFFERENCE)

Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘⊕‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh :
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
= (A – B) ∪ (B – A)
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Symmetric Difference

Contoh beda setangkup :
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut :

• A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)
• (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)

PERKALIAN KARTESIAN (CARTESIAN PRODUCT)

Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘× ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh :

A × B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh perkalian kartesian :

Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang datar

Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan. Dengan demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:

|A × B| = |A| . |B|

Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu

A × B ≠ B × A

dimana A atau B bukan himpunan kosong. Jika A = ∅ atau B = ∅, maka

A × B = B × A = ∅

Hukum-hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut :

1. Hukum identitas:

• A ∪ ∅ = A
• A ∩ U = A

2. Hukum null/dominasi:

• A ∩ ∅ = ∅
• A ∪ U = U

3. Hukum komplemen:

• A ∪ A = U
• A ∩ A = ∅

4. Hukum idempoten:

• A ∪ A = A
• A ∩ A = A

5. Hukum involusi:
6. Hukum penyerapan (absorpsi):

• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∩ (A ∪ B) = A

7. Hukum komutatif:

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∩ B = B ∩ A

8. Hukum asosiatif:

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

9. Hukum distributif:

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

10. Hukum De Morgan:

     

11. Hukum komplemen:

     

4() PERINSIP  DUALITAS

Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Contoh : AS => kemudi mobil di kiri depan
Inggris/Indonesia => kemudi mobil di kanan depan
Peraturan: (a) di Amerika Serikat :
–          mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,
–          pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
–          bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung
            (b) di Inggris/Indonesia
– mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,
– pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
– bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung
Prinsip dualitas pada kasus diatas adalah: Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris/Indonesia.
(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ∪, ∩, dan komplemen. JikaS* merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka dengan mengganti ∪ → ∩, ∩ → ∪, ∅ → U, U → ∅, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka operasi-operasi tersebut pada kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
Didalam hukum – hukum aljabar himpunan kita dapat melihat bahwa beberapa sifat operasi simpunan merupakan analog satu sama lain. Sebagai contoh, pada hukum komplemen, A ∪ A’ = ∅  analog dengan  
A ∩ A’ = U, begitu juga pada hukum asosiatif, A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C analog dengan  
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C. Hukum yang kedua diperoleh dari hukum yang pertama dengan cara mengganti tanda ∪ dengan ∩, ∩ dengan ∪ , ∅ dengan U, U dengan ∅  dan membiarkan komplemen tetap seperti dinyatakan sebelumnya.
Hukum – hukum dalam prinsip dualitas sama dengan hukum – hukum yang ada dalam hukum aljabar himpunan diatas, hanya pada prinsip dualitas tidak memiliki hukum involusi karena komplemen tidak memiliki dual.
Prinsip Inklusi – Eksklusi
Penggabungan dua himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen – elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B. Himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen – elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah | A ∩ B | . Setiap unsur yang sama itu telah dihitung dua kali, sekali pada |A| dan sekali pada |B|, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen didalam |A| . Karena itu, jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di masing – masing dikurangi dengan jumlah didalam irisannya atau
| A ∪ B | =  |A| + |B| – | A ∩ B |
Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi – eksklusi.

selanjutnya adalah Relasi dan sifat relasi biner

5 .() Relasi pada Himpunan
Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dapat dinyatakan dalam suatu struktur yaitu RELASI. Cara yang paling mudah menyatakan/menulis hubungan antar elemen dari dua himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Dengan  notasi (a, b)ЄR artinya a dihubungkan dengan b oleh R
Relasi biner R antara dua himpunan yaitu himpunan A dan himpunan B adalah himpunan bagian dari AXB,  dengan notasi  RÍ(AXB).
Himp. A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.
Contoh
1.Misal A={Amir, Budi , Cecep} adl himp. Mahasiswa , dan B={F221, F251, F323} adl himp. Kode mata kuliah di jurusan TI . Tentukan himpunan ( AXB) dan ada berapa elemen himpunan (AXB) tersebut.
Jawab
(AXB)= {(Amir, F221), (Amir, F251), (Amir, F323), (Budi, F221), (Budi, 251), (Budi, F221), (Cecep, F211), (cecep, F251), (cecep, 323)}.

2. Misalkan P={2, 4, 8, 9, 15} dan Q={2, 3, 4}, relasi R: P ® Q yang didefinisika (a, b)ЄR, jika a habis

dibagi b . Tentukan himpunan relasi R dengan mendaftar kan semua elemennya.
jawab
R= {(2,2),(4,2), (4,4),(8,2), (8,4), (9,3), (15,3)}
# catatan relasi pada himpunan pada A adalah relasi dari A ke A

• SIFAT RELASI BINER

  Beberapa Sifat Relasi
  Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. Sifat-sifat tersebut antara lain :
  
  1. Refleksif (reflexive)
  Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a ∈ A. Dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak refleksif jika ada a ∈ A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.
  Contoh :
  Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R adalah relasi ‘≤’ yang didefinisikan pada himpunan A, maka
  R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
  Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.
  Contoh :
  Misalkan A = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.
  Jika kita definisikan relasi R pada himpunan A dengan aturan :
  (a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b
  Perhatikan bahwa (4, 4) ∉ R .
  Jadi, jelas bahwa R tidak bersifat refleksif.
  Sifat refleksif memberi beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu :
  
  • Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur diagonal utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,
  • Relasi yang bersifat refleksif jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka pada graf tersebut senantiasa ditemukanloop setiap simpulnya.
  2. Transitif (transitive)
  Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b,c ∈ A.
  Contoh :
  Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh :
  a R b jika dan hanya jikan a membagi b, dimana a, b ∈ A,
  Jawab :
  Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :
  R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}
  Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8) ∈ R terlihat bahwa (2, 8) ∈ R.
  Dengan demikian R bersifat transitif.
  Contoh :
  R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh :
  R : a + b = 5, a, b ∈ A,
  Jawab :
  Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :
  R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }
  Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R.
  Dengan demikian R tidak bersifat transitif.
  Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :
  Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.
  Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
  
  3. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)
  Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R.
  Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b.
  Contoh :
  Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh:
  a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z.
  Periksa apakah relasi R bersifat simetri !
  Jawab :
  Misalkan a R b maka (a – b) ∈ Z, Sementara itu jelas bahwa (b – a) ∈ Z.
  Dengan demikian R bersifat simetri.
  Contoh :
  Tunjukan bahwa relasi ‘≤’ merupakan pada himpunan Z. bersifat anti simetri
  Jawab :
  Jelas bahwa jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.
  Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti simetri.
  Contoh :
  Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.
  Contoh :
  Misalkan relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } maka relasi R merupakan relasi yang simetri sekaligus relasi yang anti simetri.
  Sifat simetri dan anti simetri memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian berbentuk matriks maupun graf, yaitu :
  
  • Relasi yang bersifat simetri mempunyai matriks yang unsur-unsur di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-unsurdi atas diagonal utama, atau m_ij = m_ji = 1, untuk i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, n adalah :
  Relasi yang bersifat simetri, jika disajikan dalam bentuk graf berarah mempunyai ciri bahwa jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
  
  • Relasi yang bersifat anti simetri mempunyai matriks yang unsur mempunyai sifat yaitu jika m_ij = 1 dengan i ≠ j, maka m_ji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi anti simetri adalah jika salah satu dari m_ij = 0 atau m_ji = 0 bila i ≠ j :
  sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat anti simetri mempunyai ciri bahwa tidak akan pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.
  Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R^–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh :
  R^–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R }
  Contoh :
  Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.
  Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu :
  (p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q
  maka kita peroleh :
  R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)
  R^–1 merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk :
  (q, p) ∈ R^–1 jika q adalah kelipatan dari p
  sehingga diperoleh :
  R^–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }
  Jika M adalah matriks yang menyajikan suatu relasi R,
  maka matriks yang merepresentasikan relasi R^–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M, 
• - ISTILAH-ISTILAH PENTING DALAM HIMPUNAN
  
  Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang materi himpunan, kamu harus tahu terlebih dahulu istilah-istilah penting yang ada dalam himpunan. Apa saja ya istilah-istilah penting yang ada di Himpunan.
  1. Kardinalitas
  Pertama adalah Kardinalitas . Kardinalitas adalah banyaknya anggota himpunan yang berbeda. Nah untuk menyatakan banyaknya anggota yang berbeda dalam suatu himpunan menggunakan notasi n. Contohnya adalah tentukan banyaknya anggota himpunan A= { Huruf pembentuk kata “cermat’ } . Berarti kamu menjawabnya dengan cara n(A) = 6.
  2. Himpunan Semesta
  
  Himpunan Semesta (Sumber: MarchSchilder.com)
  Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan dan dilambangkan dengan S. Di dalam himmpunan semesta, terdapat beberapa anggota. Agar kamu lebih paham lagi apa maksud dari himpunan semesta, kamu bisa lihat contoh soal dibawah ini yaa!
  
  3. Himpunan Kosong
  
  Himpunan kosong artinya himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong ditulis dengan notasi atau simbol { } atau ∅. Contohnya yaitu jika kamu disuruh untuk menyebutkan nama hari yang berawalan dari huruf z, tetapi tidak ada jawabannya karena tidak ada hari yang berawalan huruf z. Berati itu termasuk himpunan kosong. Dijawab seperti ini yaa: n(E) = { } atau n(E) = ∅. Tapi ingat ya Squad, jangan menuliskan himpunan kosong dengan cara n(E) = {0}. Ini salah ya! Ini karena {0} mempunyai anggota yaitu 0, bukan himpunan kosong.
  Himpunan Kosong (sumber: MarchSchilder.com)
  Nah gimana Squad, sekarang sudah tahu kan apa itu himpunan? Kamu juga sudah tidak bingung lagi dengan materi himpunan karena kamu telah mengetahui istilah-istilah penting pada himpunan. Coba kamu jawab pertanyaan ini. lalu tuliskan jawabannya di kolom komentar yaa
  
  
  
  SUMBER :
  https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-7-pengertian-dan-istilah-istilah-dalam-himpunan 
  https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-7-pengertian-dan-istilah-istilah-dalam-himpunan