TI_POLTALA_MATDIS_1A

TI_POLITALA_MATDIS_1A

MATEMATIKA DISKRIT

- PROPOSISI

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar (true) atau salah (false). Preposisi selalu dinyatakan sebagai kalimat berita, bukan sebagai kalimat tanya maupun perintah. Proposisi juga merupakan kalimat yang bisa di buktikan kebenarannya,Proposisi juga dapat dinyatakan dalam angka 1 yang artinya benar dan 0 artinya salah.

Kesimpulan:

Proposisi adalah kalimat berita.

Pernyataan primer : pernyataan yang tidak mengandung kata hubung kalimat (pernyataan tunggal/pernyataan atom).

Penyataan majemuk : pernyataan yang mengandung satu atau lebih kata hubung kalimat.

Penjelasan:

– “689 > 354” = Ini adalah pernyataan dan merupakan proposisi. Nilainya benar.

– “Tembok Berlin ada di Jepang.” = Ini adalah pernyataan dan merupakan proposisi. Nilainya salah.

– “100000 < X” =Ini adalah pernyataan tetapi bukan merupakan proposisi. Belum ada nilainya karena merupakan kalimat terbuka. Disebut juga sebagai fungsi proposisi.

Berikut adalah contoh dari proposisi :

6 adalah bilangan genap

Soekarno adalah presiden pertama indonesia

15 > 12

20 – 15 = 5

Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar).

2+2=4 (Benar).

Semua manusia adalah fana (Benar).

4 adalah bilangan prima (Salah).

5×12=90 (Salah).

Di bawah ini contoh yang bukan merupakan proposisi :

Dimanakah kamu tinggal ?

Kembalikan buku itu keperpustakaan !

10 + 3 = 13

Pernyataan diatas bukan merupakan preposisi karena merupakan kalimat tanya dan perintah, kalimat C tidak dapat ditentukan bukan merupakan preposisi karena merupakan kalimat tanya dan perintah, kalimat C tidak dapat ditentukan sebagi preposisi. Karena kalimat tersebut tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya yan seharusnya hasil dari 10 + 3 = 13. Membentuk preposisi baru dapat dengan cara mengombinasikan preposisi. Operator yang diguakan untuk mengkombisikan preposis disebut logika. Operator logika dasar yang diguakan adalah dan (and), atau (or) dan tidak (not). Preposisi baru yang didapat dari hasil pengkombinasia tersebut dinamakan dengan preposisi majemuk.

PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Dalam logika dikenal 5 buah penghubung

Simbol	Arti	Bentuk
¬	Tidak/Not/Negasi	Tidak………….
Ù	Dan/And/Konjungsi	……..dan……..
Ú	Atau/Or/Disjungsi	………atau…….
Þ	Implikasi	Jika…….maka…….
Û	Bi-Implikasi	……..bila dan hanya bila……..

Contoh

Misalkan :

p : menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”

Q : menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”

Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “

Dinyatakan dengan simbol qÙp

Misalanya

p: hari ini hari minggu

q: hari ini libur

Menyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :

Hari ini tidak hari minggu tetapi libur

Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur

Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur

Penyelesaian

Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai :

¬p Ù q

¬p Ù¬q

¬(p Ù q)

NEGASI (INGKARAN)

Jika p adalah “ Lampung ibukota Indonesia” p yaituØ, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah “ Lampung bukan ibukota Indonesia” atau “Tidak benar bahwa Lampug ibukota Indonesia”) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.Ø. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

KONJUNGSI

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “Ù”

Contoh

p: Fahmi makan nasi

Q:Fahmi minum kopi

q : Fahmi makan nasi dan minum kopiÙMaka p

q bernilai salah. Ùq akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka pÙ Pada konjungsi p

DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “Ú”.

Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :

INKLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”

Contoh :

p : 7 adalah bilangan prima

q : 7 adalah bilangan ganjil

q : 7 adalah bilangan prima atau ganjilÚp

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

EKSLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.

Contoh :

p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.

q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.

q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.Úp

Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.

IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “Þ”.

q dapat dibaca :ÞNotasi p

Jika p maka q

q jika p

p adalah syarat cukup untuk q

q adalah syarat perlu untuk p

Contoh

p : Pak Ali adalah seorang haji.

q : Pak Ali adalah seorang muslim.

q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.

p : Hari hujan.

q : Adi membawa payung.

Benar atau salahkah pernyataan berikut?

Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.

Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.

Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.

Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

BIIMPLIKASI

Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “ qÛp ” p)Þ (q Ùq) Þyang bernilai sama dengan (p sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.

Contoh

p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.

q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.Ûp

- OPERATOR LOGIKA

LOGIKA

Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning)

Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).

Definisi : Suatu pernyataan adalah suatu kalimat yang menyatakan sesuatu, yang dapat diberi satu dan dua kemungkinan nilai kebenaran, yaitu benar atau salah.

Definisi : Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel. Menjadi pernyataan apabila variabelnya diganti oleh suatu anggota semesta pembicaraan.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

INGKARAN / NEGASI

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “” atau “”.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.

Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!

1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)

~ p : kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)

2. r : 3 bilangan positif (B)

~ r : (cara mengingkar seperti ini salah)

3. bilangan negative

(Seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)

Nilai kebenaran

Jika p suatu pernyataan benilai benar, maka ~p bernilai salah dan sebaliknya jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar.

Tabel kebenaran:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

KONJUNGSI

Gabungan dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata penghubung “dan” sehingga terbentuk pernyataan majemuk disebut konjungsi. Konjungsi mempunyai kemiripan dengan operasi irisan () pada himpunan. Sehingga sifat-sifat irisan dapat digunakan untuk mempelajari bagian ini.

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik seperti gambar berikut:

Gambar rangkaian seri

Dari gambar rangkaian diatas menggunakan saklar symbol saklar 1 diberi symbol p dan saklar 2 diberi symbol q. Saklar terbuka (off) sebagai pernyataan benar, saklar tertutup (on) sebagai pernyataan salah. Lampu yang dipasang pada rangkaian sebagai kebenaran dari pernyataan tersebut.

Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar

Jika salah satu saklar p atau q terbuka (off) ternyatalampu tidak menyala maka pernyataan bernilai salah.

Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off) ternyata lampu juga tidak menyala, maka pernyataan bernilai salah.

Berdasar kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧ q pada lampu akan menyala hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama tertutup sedangkan nilai kebenaran yang selain itu tidak menyala sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:

Contoh

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk pq berikut ini!

a. p : 100 + 500 = 800

q : 4 adalah faktor dari 12

b. p : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata

q : 625 adalah bilangan kuadrat

Jawaban:

a. p salah, q benar

q : 100 + 500 = 800 dan 4 adalah faktor dari 12 (Salah)

Jadi, (p

q) = S.

b. (p) = B, (q) = B.

q : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata dan 625 adalah

bilangan kuadrat (benar).

Jadi, (p

q) = B.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

DISJUNGSI

Disjungsi adalah proposisi majemuk yang menggunakan perangkai “atau”.

Poposisi “p atau q” dinotasikan q

p. Tidak seperti pernyataan berperangkai “dan” yang mempersyaratkan terpenuhinya kebenaran semua unsurnya, pernyataan berperangkai “atau” menawarkan suatu pilihan, artinya jika paling tidak salah satu dari kedua unsur proposisinya terpenuhi maka hal ini sudah cukup untuk pernyataan tersebut dikatakan benar.

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar berikut :

Gambar Rangkaian Paralel

Dari gambar rangkaian diatas menggunakan saklar symbol saklar A diberi symbol p dan saklar B diberi symbol q. Saklar terbuka (off) sebagai pernyataan benar, saklar tertutup (on) sebagai pernyataan salah. Lampu yang dipasang pada rangkaian sebagai kebenaran dari pernyataan tersebut.

Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar

Jika salah satu saklar p tertutup (on) dan q terbuka (off), atau jika salah satu saklar p terbuak (off) dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar.

Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off) ternyata lampu juga tidak menyala, maka pernyataan bernilai salah.

Dari gambar rangkaian diatas tampak bahwa lampu tidak menyala jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau keduanya salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Contoh

Tentukanlah nilai kebenaran untuk disjungsi dua pernyataan yang diberikan !

a. p : 3 + 4 = 12

q : Dua meter sama dengan 200 cm

b. p : 29 adalah bilangan prima

q : Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat

c. p : Dua garis yang sejajar mempunyai titik potong

q :

adalah bilangan cacah.

Jawaban:
a. (p) = S, (q) = B.

Jadi, (p

q) = B.

q : 3 + 4 = 12 atau dua meter sama dengan 200 cm (benar).

b. (p) = B, (q) = B.

Jadi, (p

q) = B.

q : 29 adalah bilangan prima atau Bandung adalah ibukota Provinsi Jawa barat (benar).

c. (p) = S, (q) = S.

Jadi, (p

q) = S.

- TABEL KEBENARAN

Nilai kebenaran suatu proposisi majemuk didasarkan pada ‘Nilai kebenaran proposisi atomik penyusunnya’ dan cara mereka dihubungkan dengan ‘opeator logika’. Dan ‘Tabel kebenaran’ adalah salah satu cara untuk mengetahui nilai kebenaran dari proposisi majemuk. Table kebenaran ini nantinya akan menunjukkan nilai kebenaran dari tiap – tiap proposisi atomik dan kombinasinya menurut operator logika.

Berikut adalah tiga buah tabel kebenaran untuk operasi logika Conjuction, Disjuction, dan Negation.

Keterangan:

T = True (bernilai benar)

F = False (bernilai salah)

Conjunction

p	q	p ∧ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Disjunction

p	q	p ∨ q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Negation

p	¬ p
T	F
F	T

Table kebenaran dari tiga proposisi

Jika p, q, dan r adalah proposisi. Buatlah table kebenaran dari ekspresi logika dibawah ini

(p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬ r)

p	q	r	¬ r	p ∨ q	p ∧ ¬ r	(p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬ r)
T	T	T	F	T	F	F
T	T	F	T	T	T	T
T	F	T	F	T	F	F
T	F	F	T	T	T	T
F	T	T	F	T	F	F
F	T	F	T	T	F	F
F	F	T	F	F	F	F
F	F	F	T	F	F	F

Kita bisa melihat contoh – contoh di atas bahwanilai kebenaran proposisi majemuknya bisa sangat bervariasi tergantung dari nilau kebenaran proposisi proposisi atomiknya. Namun, adakalanya, nilai kebenaran suatu proposisi majemuk bernilai benar (true) untuk semua kasus atau bahkan bernilai salah (false) untuk semua kasus.

Jika sebuah proposisi bernilai true (T) untuk semua kemungkinan (kolom paling akhir) maka, proposisi majemuk tersebut disebut Tautologi

Contoh Tautologi :

p ∨ ¬(p ∧ q)

p	q	p ∧ q	¬ r	P ∨ ¬(p ∧ q)
T	T	T	F	T
T	F	F	F	T
F	T	F	T	T
F	F	F	T	T

Jika sebuah proposisi bernilai false (F) untuk semua kemungkinan (kolom paling akhir) maka, proposisi majemuk tersebut disebut Kontradiksi

Contoh Kontradiksi

¬ p ∧ (p ∧ q)

p	q	¬ p	p ∧ q	¬ p ∧ (p ∧ q)
T	T	F	T	F
T	F	F	F	F
F	T	T	F	F
F	F	T	F	F

- IMPLIKASI

Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut. Misalnya, Nazar berjanji pada Irza, “Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Nazar ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Nazar untuk mengajak Irza nonton.

Misalkan sore ini tidak hujan dan Nazar mengajak Irza nonton, Irza tidak akan kecewa karena Nazar memenuhi janjinya. Akan tetapi, jika sore ini hujan dan Nazar tetap mengajak Irza menonton, Irza tentu merasa senang sekali. Jika sore ini hujan dan Nazar tidak mengajak Irza menonton, tentunya Irza akan memakluminya. Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan Nazar tidak mengajak Irza menonton? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Irza akan kecewa dan menganggap Nazar sebagai pembohong yang tidak menepati janjinya.

Misalkan, p : Sore tidak hujan.

q : Nazar mengajak Irza menonton.

Pernyataan “jika sore nanti tidak hujan, maka Nazar akan mengajak Irza nonton”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau dilambangkan dengan “p

q”. Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q” disebut implikasi.

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan p

q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar. Perhatikan tabel berikut ini.

Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

Terdapat perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah memiliki hubungan dengan pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada contoh implikasi sebelumnya, “Jika sore nanti tidak hujan maka saya akan mengajakmu nonton”. Terdapat hubungan sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh dibawah ini.

Contoh:

Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut !

a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.

b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.

c. Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Jawab :

a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.

Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar.

b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.

Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah.

c. Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar.

- TAUTOLOGI

Definisi 1.

Tautologi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya

Contoh pada table kebenaran

p	$\sim$ p	p $\vee \sim$ p
B S	S B	B B

- KONTRADIKSI

Definisi 2.

Kontradiksi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya.

Contoh pada table kebenaran

p	$\sim$ p	p $\wedge \sim$ p
B S	S B	S S

- KONTINGENSI

Definisi 3.

Kontingensi adalah suatu proporsi majemuk yang bukan termasuk tautologi dan bukan juga kontradiksi

Contoh pada table kebenaran

p	q	p $\vee$ q
B B S S	B S B S	B B B S

-EKIVALENSI

Definisi 4.

Dua buah proporsi dikatakan ekivalen (ekivalen logis), jika kedua proporsi tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama. Proporsi p dan q ekivalen dinotasikan dengan p $\cong$ q atau sering disederhanakan p = q.

Definisi ekivalen di atas, dapat juga dirumuskan sebagai berikut :

Proporsi p dan q ekivalen jika dan hanya jika p $\Leftrightarrow$ q merupakan suatu tautologi.

Pada tautologi, dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian pula jika keduanya kontradiksi. Persoalannya ada pada contingent, karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis. Perhatikan pernyataan berikut :

Contoh

Dewi sangat cantik dan peramah.

Dewi peramah dan sanagt cantik.

Kedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditulis sebagai berikut :

A = Dewi sangat cantik.

B = Dewi peramah.

Maka ekspresi logikanya :

QÙ1. P

PÙ2. Q

Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika tersebut dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran sebagai berikut ini :Ù Q º Q ÙJika dikatakan kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis maka dapat ditulis P

P	Q	Q Ù P	P ÙQ
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	F	F
F	F	F	F

Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai T dan F, tetapi karena memiliki urutan yang sama, maka secara logis tetap dikatakan ekuivalen. Tetapi jika urutan T dan F tidak sama, maka tidak biasa dikatakan ekuivalen secara logis. Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalensi secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat pernyataan berikut ini :

Contoh

Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur.

Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur.

Secara intuitif dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya sama, tetapi bagaimana jika dibuktikan dengan menggunkan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika. Adapaun langkah-langkahnya :

1.Ubah dahulu argumen di atas ke dalam bentuk ekspresi/notasi logika. Misal : A=Badu pandai

B=Badu jujur

Maka kalimatnya menjadi

BØÚAØ

B)Ù(AØ

2.Buat tabel kebenarannya.

A	B	AØ	BØ	BÙA	BØÚAØ	B)Ù(AØ
T	T	F	F	T	F	F
T	F	F	T	F	T	T
F	T	T	F	F	T	T
F	F	T	T	F	T	T

Perhatikan ekspresi di atas! Meskipun kedua ekspresi logika di atas memiliki nilai kebenaran yang sama, ada nilai T dan F, keduanya baru dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan perangkai ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.

SUMBER :